Υπολογισμός της αστρονομικής μονάδας

1. Η μέθοδος του Αρίσταρχου (περίπου 240 π.Χ.)

Γ: Γη, Σ: Σελήνη, Η: Ήλιος, ΡΓΣ: Απόσταση Γης - Σελήνης, ΡΓΗ: Απόσταση Γης - Ήλιου.
(Τα τρία σώματα δεν είναι υπό κλίμακα)

Η μέθοδος του Αρίσταρχου για τη μέτρηση της απόστασης Γης - Ήλιου  

Όταν η Σελήνη βρίσκεται σε φάση πρώτου ή τελευταίου τετάρτου, η γωνία Γης - Σελήνης - Ηλίου είναι 90° (ορθή γωνία). Τότε η γραμμή που χωρίζει το φωτισμένο από το σκοτεινό τμήμα του σεληνιακού δίσκου (Ορίζουσα ή διαχωρίζουσα), είναι μια ευθεία. Αν ο Ήλιος βρισκόταν σε άπειρη απόσταση από τη Γη, τότε οι ευθείες ΣΗ και ΓΗ θα ήταν παράλληλες, άρα η γωνία Θ θα ήταν και αυτή ίση με 90° (η γωνία Θ είναι η γωνία που σχηματίζουν Σελήνη και Ήλιος τη στιγμή των τετάρτων, όπως φαίνονται από τη Γη). Η μέτρηση αυτής της γωνίας απαιτεί μεγάλη ακρίβεια και κατάλληλα σχεδιασμένα όργανα. Ο Αρίσταρχος την υπολόγισε ίση με 87°, ενώ η σύγχρονη τιμή της είναι πολύ κοντά στις 90° (89,85°). Με τη βοήθεια της τριγωνομετρίας μπορούμε στη συνέχεια να υπολογίσουμε την απόσταση Γης - Ήλιου σε σχέση με την απόσταση Γης - Σελήνης:

ΡΓΣ / ΡΓΗ = συνΘ ή ΡΓΗ = 1/συνΘ · ΡΓΣ

• Με την τιμή του Αρίσταρχου υπολογίζουμε ότι: Απόσταση Γης - Ήλιου = 19 φορές η απόσταση Γης - Σελήνης, 
• Με την μοντέρνα τιμή υπολογίζουμε ότι: Απόσταση Γης - Ήλιου = 380 φορές η απόσταση Γης - Σελήνης. 

Όσο για την απόσταση Γης - Σελήνης, αυτή μπορεί να υπολογιστεί με ακρίβεια είτε με ραντάρ είτε αν είναι γνωστή η πραγματική της διάμετρος, συγκρίνοντας την με τη φαινόμενη διάμετρο της.

Αρίσταρχος ο Σάμιος (310 - 250 π.Χ.)

Μεγάλος μαθηματικός και αστρονόμος της Αλεξανδρινής περιόδου, που γεννήθηκε στη Σάμο και πέθανε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου. Πρώτος διατύπωσε με σαφή τρόπο τη θεωρία του ηλιοκεντρισμού, ότι δηλαδή η Γη και οι άλλοι πλανήτες κινούνται γύρω από τον (ακίνητο) Ήλιο. Εκτός από την παραπάνω ιδιοφυή μέτρηση της απόστασης Γης - Ήλιου (άσχετα με την ακρίβεια της μέτρησης αυτής καθεαυτής), υπολόγισε τη διάμετρο της Σελήνης σε σχέση με αυτή της Γης (3/8 αντί του σωστού 3/11) με τη βοήθεια των σεληνιακών εκλείψεων (παρατηρώντας την καμπυλότητα της σκιάς της Γης πάνω στη Σελήνη).

2. Η μέθοδος με τις διαβάσεις (Halley, Delisle, Newcomb κ.ά.)

Ας θεωρήσουμε δύο σφαιρικά σώματα Η και Γ που απέχουν ορισμένη απόσταση d μεταξύ τους και έστω RΓ η ακτίνα του Γ. Από το κέντρο του Η, η ακτίνα του Γ φαίνεται υπό ορισμένη γωνία π. Αν το σώμα Γ είναι η Γη, οπότε RΓ είναι η ακτίνα της Γης, τότε η γωνία π ονομάζεται παράλλαξη του σώματος Η. Αν θεωρήσουμε σαν σώμα Η τον Ήλιο μας, τότε η παράλλαξη π του Ήλιου θα είναι ίση με (βλ. σχήμα):

εφπ = RΓ / d ή επειδή η γωνία π είναι πολύ μικρή*

π = RΓ / d, 

από όπου αν λύσουμε ως προς d θα πάρουμε:

d = RΓ / π 

(* για πολύ μικρή γωνία π, εκφρασμένη σε ακτίνια, ισχύει εφπ=π. Η γωνία π είναι πολύ μικρή, επειδή η απόσταση Γης - Ήλιου είναι πολύ μεγαλύτερη από την ακτίνα της Γης)


Από την τελευταία σχέση λοιπόν μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή της αστρονομικής μονάδας d, αν γνωρίζουμε την ακτίνα της Γης RΓ και την τιμή της παράλλαξης του Ήλιου π.

Σχέση μεταξύ παράλλαξης και απόστασης στο σύστημα Γη - Ήλιος. 

Ο υπολογισμός λοιπόν της απόστασης Γης - Ήλιου, ανάγεται στη μέτρηση της παράλλαξης π του Ήλιου, καθώς η ακτίνα της Γης είναι γνωστή με μεγάλη ακρίβεια. Η τιμή αυτή της πολύ μικρής γωνίας (περίπου 8,8 δευτερόλεπτα του τόξου ή αλλιώς η φαινόμενη διάμετρος ενός μικρού νομίσματος, όπως θα φαινόταν από μια απόσταση πάνω από 200 m), μπορεί να μετρηθεί κατά τη στιγμή της διάβασης της Αφροδίτης α) είτε συγκρίνοντας τους ακριβείς χρόνους δύο όμοιων επαφών από δυο διαφορετικά μέρη της Γης - μέθοδος του Delisle, β) είτε συγκρίνοντας τους χρόνους της διάβασης από τα δυο διαφορετικά μέρη - μέθοδος του Halley.

Οι υπολογισμοί είναι αρκετά περίπλοκοι, η βασική ιδέα όμως είναι η εξής:

Υπολογισμός της παράλλαξης του Ήλιου, από τη διάβαση της Αφροδίτης μπροστά από τον ηλιακό δίσκο 

Για δύο παρατηρητές Α και Β που βρίσκονται σε μεγάλη μεταξύ τους απόσταση (ως προς το γεωγραφικό πλάτος), η Αφροδίτη διαγράφει δύο διαφορετικές τροχιές πάνω στο δίσκο του Ήλιου - ΑΑ1 και ΒΒ1 όπως δείχνει το σχήμα. Από τη μέτρηση των χρονικών στιγμών των επαφών, μπορούμε να υπολογίσουμε τη διάρκεια της διάβασης για κάθε παρατηρητή ξεχωριστά - γενικά οι χρόνοι θα διαφέρουν μερικά λεπτά μεταξύ τους. Στη συνέχεια, με τη χρήση πινάκων και μαθηματικών σχέσεων μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή της παράλλαξης πα για την Αφροδίτη, τη γωνία δηλαδή υπό την οποία φαίνεται η απόσταση των δύο παρατηρητών πάνω στη Γη από την Αφροδίτη. Η πραγματική απόσταση ανάμεσα στους δύο παρατηρητές Α και Β μπορεί να υπολογιστεί αν είναι γνωστές οι γεωγραφικές συντεταγμένες των δύο τόπων - το γεωγραφικό μήκος και πλάτος της κάθε θέσης. Γνωρίζοντας τώρα τη γωνία πα και την απόσταση ΑΒ, εύκολα υπολογίζεται η απόσταση Γης - Αφροδίτης. Τέλος, με τη βοήθεια των νόμων του Kepler, οι οποίοι ήταν γνωστοί στους αστρονόμους από το 17° αιώνα, υπολογίζουμε την απόσταση Γης - Ήλιου, την τιμή δηλαδή της αστρονομικής μονάδας.

Ο τρίτος νόμος του Kepler και η μέτρηση των αποστάσεων στο ηλιακό μας σύστημα

Για κάθε πλανήτη στο ηλιακό μας σύστημα ισχύει η σχέση: Τ² = α³, όπου Τ η περίοδος περιφοράς του πλανήτη γύρω από τον Ήλιο σε έτη και α η μέση απόσταση του από αυτόν σε αστρονομικές μονάδες. Εφαρμόζοντας τον 3° νόμο του Kepler στην κίνηση των πλανητών, μπορούμε να υπολογίσουμε τις αποστάσεις τους από τον Ήλιο, σε σχέση με την αστρονομική μονάδα - για να μετατρέψουμε τις τιμές αυτές σε απόλυτες, πρέπει να μετρήσουμε με ακρίβεια την τιμή της τελευταίας, που εξηγεί τη σημασία των διαβάσεων την εποχή που μελετήθηκαν. Εφαρμόζοντας τον τρίτο νόμο στην περίπτωση της Αφροδίτης, της οποίας η περίοδος περιφοράς της γύρω από τον Ήλιο είναι περίπου 225 ημέρες, υπολογίζουμε ότι η μέση απόσταση της από τον Ήλιο είναι περίπου 0,72 αστρονομικές μονάδες. Με τη μοντέρνα τιμή για την αστρονομική μονάδα, που υπολογίζεται με τη χρήση Ραντάρ (βλ. παρακάτω) αυτή η απόσταση μεταφράζεται σε περίπου 108 εκατομμύρια χιλιόμετρα.

3. Υπολογισμός της αστρονομικής μονάδας με τη χρήση Ραντάρ (NASA, 1990)

Με τη βοήθεια ραδιοκυμάτων, που ανακλώνται από την (στερεή) επιφάνεια της Αφροδίτης, υπολογίζουμε την απόσταση των δύο πλανητών, όταν η Αφροδίτη βρίσκεται στο πλησιέστερο προς τη Γη σημείο (κατώτερη σύνοδος). Τα ραδιοκύματα είναι ηλεκτρομαγνητικά κύματα που διαδίδονται στο κενό με τη σταθερή ταχύτητα του φωτός (περίπου ίση με 300.000 χιλιόμετρα το δευτερόλεπτο). Από το χρόνο που χρειάζονται τα ραδιοκύματα να φτάσουν στον πλανήτη και να επιστρέψουν στη Γη και με τη ταχύτητα του φωτός γνωστή, υπολογίζουμε την απόσταση Γης - Αφροδίτης με ακρίβεια ενός χιλιομέτρου. Γνωρίζοντας τέλος από τον τρίτο νόμο του Kepler ότι αυτή η απόσταση είναι (περίπου) ίση με 1 - 0,72 = 0,28 αστρονομικές μονάδες, υπολογίζουμε την απόσταση Γης - Ήλιου.

Η σημερινή αποδεκτή τιμή είναι 149. 597. 870 χιλιόμετρα.

Υπολογισμός της αστρονομικής μονάδας (α.μ.) με τη χρήση Ραντάρ